Ponzi de la répartition : une preuve mathématique

10 décembre 2012 — 47 Commentaires

Cet article propose une preuve mathématique que le système de retraite par répartition est une chaîne de ponzi, c’est-à-dire qu’il relève du même procédé financier que l’arnarque de B. Madoff. 

A quelques occasions, je vous ai indiqué que la retraite par répartition était une chaîne de Ponzi, et que ce fait relevait des mathématiques et donc dépassait toute analyse sur la conjoncture ou la démographie. C’est-à-dire qu’un mathématicien dans sa tour d’ivoire, ne connaissant strictement rien au monde extérieur, pouvait dès le début montrer que ce système était impossible, et ce hors de toute considération concrète. Et d’ailleurs, les économistes le savaient.

J’imagine que certains de mes lecteurs sont déjà sceptiques quant à l’usage des mathématiques en économie sans considérations pour le concret. Je leur répondrais que quelque chose qui respecte les mathématiques n’est pas nécessairement réel (et donc ni digne d’intérêt). En revanche, quelque chose qui ne respecte pas les mathématiques ne peut tout simplement pas être réel.

Valeur future et valeur présente

Pour comprendre ma démonstration, il est nécessaire de comprendre ce qu’est une valeur future, et réciproquement une valeur présente. La valeur dans un an d’un euro aujourd’hui, correspond au nombre d’euros que vous obtiendriez en échangeant votre euro d’aujourd’hui. Concrètement, vous donneriez un euro aujourd’hui, et recevriez une somme dans un an. La différence entre les deux est définie par le taux d’intérêt, i, sur la période. Ainsi :

1 \ {euro}_{\ 0} \rightarrow 1 \times (1+i) \ {euro}_{\ 1}

Cela signifie que si vous renoncez à consommer 1€ tout de suite, vous libérez un pouvoir d’achat un peu plus grand que 1€ dans un an.

Et inversement

{1 \over (1+i)} \ {euro}_{\ 0} \leftarrow 1 \ {euro}_{\ 1}

Ce qui implique que si vous renoncez à dépenser 1€ dans un an, cela vous permet de dépenser un peu moins de 1€ en plus aujourd’hui.

De même, si vous aviez échangé des euros actuels, contre des euros de dans t périodes, vous auriez dû composer les intérêts, pour réaliser le même type de raisonnement. Vous auriez :

Par transfert de pouvoir d’achat du présent vers le futur :

1 \ {euro}_{\ 0} \rightarrow 1 \times (1+i)^t \ {euro}_{\ t}

et, du futur vers le présent :

{1 \over (1+i)^t} \ {euro}_{\ 0} \leftarrow 1 \ {euro}_{\ t}

Ainsi la valeur actuelle d’une dépense à une période t, est égale à :

D_t \over {(1+i)^t}

Ce qui signifie que si vous placez cette somme aujourd’hui sur un compte en banque, vous aurez à la période t exactement le montant nécessaire pour réaliser votre dépense D_t

Ce raisonnement permet d’établir la "contrainte budgétaire intertemporelle" d’un agent économique.

{ \sum \limits_{t=0}^{\infty} { {D_{t} } \over {(1+i)^t} }} \le { \sum \limits_{t=0}^{\infty} { R_{t} \over {(1+i)^t} }}

Cette contrainte traduit le fait qu’à une période t, vous n’êtes pas obligé d’équilibrer vos dépenses (D_t ) et vos revenus (R_t ), car vous pouvez par l’épargne déplacer vos revenus présents vers le futur (avec le gain d’un taux d’intérêt) ou déplacer des revenus futurs vers le présent par l’emprunt (avec la perte du taux d’intérêt).

Vous respectez votre contrainte budgétaire intertemporelle si la valeur actuelle de vos dépenses présentes et futures est inférieure ou égale à la valeur actuelle de vos revenus présents et futurs. C’est la condition de votre solvabilité à long terme.

La retraite par répartition

La condition de solvabilité

Dans les modèles macroéconomiques, la contrainte budgétaire intertemporelle a un nom croustillant. On l’appelle « no ponzi game condition ». Dans le cas de la retraite par répartition, cette condition s’écrit :

{ \sum \limits_{t=0}^{\infty} { {P_{t} } \over {(1+i)^t} }} \le { \sum \limits_{t=0}^{\infty} { C_{t} \over {(1+i)^t} }}

C’est-à-dire que la valeur présente de l’ensemble des cotisations présentes et futures C_t couvre la valeur présente de l’ensemble des pensions présentes et futures P_t . Cela autorise le système à être parfois en déficit (et donc de perdre le paiement d’intérêts sur une dette) et parfois à constituer des réserves (et donc de dégager du rendement sur leur placement). Mais si cette condition n’est pas remplie, le système n’est pas financièrement stable, c’est alors un ponzi qui a besoin d’apports extérieurs pour survivre.

Les financiers connaissent quant à eux ces sommes sous les termes "somme des flux actualisés" ou, en anglais, "discounted cash flows".

Preuve du Ponzi

Démontrons désormais qu’il s’agit effectivement d’un Ponzi.

Le système par répartition prétend donner un meilleur rendement que l’épargne (sans quoi il n’a aucun intérêt, vu qu’il suffirait d’épargner les cotisations). Si on note r le rendement de la répartition, et que nous rappelons que i est le taux d’intérêt sur l’épargne, on a donc :

i \le r

D’où :

C_{t-1} \times (1+i) \le C_{t-1} \times (1+r)

Ce qui signifie qu’il a été plus profitable à la période t-1 de placer ses cotisations dans le système par répartition que de les épargner. Par ailleurs, par définition du rendement r du système par répartition, on a :

P_{t}= C_{t-1} \times (1+r)

C’est à dire que la différence entre ce que touchent les retraités en pension en t et ce qu’ils avaient versé en cotisations en t-1 est expliqué par le rendement du système. Si le système est favorable à chaque génération, on a donc

\forall t, \ C_{t-1} \times (1+i) \le P_{t}

Ce qui implique :

\forall t, { {C_{t-1} \times (1+i) } \over {(1+i)^t} } \le { P_{t} \over {(1+i)^t} }

Donc par sommation sur toutes les générations cotisantes, on obtient :

{ \sum \limits_{t=1}^{\infty} { {C_{t-1} \times (1+i) } \over {(1+i)^t} }} \le { \sum \limits_{t=1}^{\infty} { P_{t} \over {(1+i)^t} }}

En simplifiant la somme de gauche, on déduit :

{ \sum \limits_{t=1}^{\infty} { {C_{t-1} } \over {(1+i)^{t-1}} }} \le { \sum \limits_{t=1}^{\infty} { P_{t} \over {(1+i)^t} }}

Et enfin, par changement de variable sur la somme de gauche, on a :

{ \sum \limits_{t=0}^{\infty} { {C_{t} } \over {(1+i)^t} }} \le { \sum \limits_{t=1}^{\infty} { P_{t} \over {(1+i)^t} }}

Or on sait que les premiers pensionnés ont reçu une pension positive, c’est-à-dire :

P_0 > 0

Donc on obtient une inégalité stricte en ajoutant P_0 à droite :

{ \sum \limits_{t=0}^{\infty} { {C_{t} } \over {(1+i)^t} }} < { \sum \limits_{t=1}^{\infty} { P_{t} \over {(1+i)^t} } + P_0}

En réintroduisant les premières pensions dans la somme, on obtient finalement :

{ \sum \limits_{t=0}^{\infty} { {C_{t} } \over {(1+i)^t} }} < { \sum \limits_{t=0}^{\infty} { P_{t} \over {(1+i)^t} }}

C’est-à-dire une relation qui ne respecte pas la "no ponzi game condition". La valeur actuelle des recettes est inférieure à celle des dépenses.

Concrètement, que cela veut-il dire ? Cela signifie qu’il est impossible que le système délivre un rendement strictement supérieur au taux d’intérêt pour chaque génération. Cela implique aussi, que si une génération a obtenu du système un rendement supérieur à celui de l’épargne, au moins une autre génération obtiendra un rendement inférieur à l’épargne. Il s’agit, vis-à-vis de l’épargne, d’un jeu à somme nulle. Cela signifie que si une génération a bénéficié du système, une autre sera nécessairement perdante. Or, ceci est toujours le cas, car à l’initialisation d’un système par répartition, une génération reçoit la première des pensions, sans avoir versé de cotisations auparavant (vu que le système n’existait pas) : elle obtient donc un rendement infini.

47 responses to Ponzi de la répartition : une preuve mathématique

  1. 

    C’est beau la mathématique ! On en arriverait presque à en déduire pourquoi la fille de Géronte est muette.
    Soyons sérieux. On a pas besoin de la mathématique pour savoir qu’une retraite par répartition commence par donner une retraite à des gens qui n’ont rien payé et que forcément il faut que des personnes présentes ou à venir gagnent l’argent donné aux premiers retraités. Point besoin de grand Sigmas pour comprendre ce truisme.
    En revanche il faut beaucoup de fausse mathématique pour faire croire que cet argent ne sera pas un jour retiré à quelqu’un.
    Ce qui me dérange c’est l’utilisation de l’intérêt dans les raisonnements. L’intérêt, l’usure dans son vrai sens, est la folie du 20ème siècle devenue explosion de fausse monnaie à partir de la déconnection du dollar de l’or, de la loi Rothschild et du traité de Maastricht. Si on ne retrouve pas le sens de la monnaie comme énergie humaine stockée et l’usure comme une création de fausse monnaie, annulée par les deux impôts privés que sont la dévaluation et la hausse des prix, nous sommes complices de ce que l’on continue à appeler "la crise" alors que ce n’est que la conséquence normale de nos comportements irresponsables que nous justifions au lieu d’en changer.
    Attention à ne pas faire croire au sérieux d’un raisonnement parce qu’il semble beau. Regardons toujours les hypothèses de départ et si elles sont fausses…….
    Revenons au bon sens. Relisons la Chrématistique d’Aristote qui rappelait qu’il avait vainement cherché sur une pièce de monnaie ses organes reproducteurs.

    • 

      Pardon mais sur l’intérêt vous dites absolument n’importe quoi!

      L’usure n’existe plus vraiment, alors qu’elle a fortement existé dans les années qui ont précédés une certaine ouverture du système financier (les taux d’intérêts avant le 19è siècle était littéralement délirant comparés au taux actuels (souvent plus de 100% par an!!!)

      L’intérêt est une donnée normale et inhérente à tout système ou l’investissement peut rapporter quelque chose (je ne crois pas qu’il puisse exister un système économique sans rendement). De plus l’inflation existait aussi avant la désindexation des monnaies de l’or. Elle était due à l’extraction de l’or et des autres métaux précieux, elle a donc été plus forte dans les années de la ruée vers l’or par exemple.

      En effet, si la monnaie perd de sa valeur, en achetant à manger par exemple pour 100 unité de monnaie, on pourra le vendre pour 100 + quelque chose. Le taux d’intérêt c’est ce quelque chose lorsqu’on ne prend pas de risque avec le capital.

      Dans un système où le rendement est possible, on a le même choix entre consommer 100 aujourd’hui et le placer pour avoir demain 100 + quelque chose (nota: ceci marche aussi pour des grains de blés).

      Si l’on a 100 aujourd’hui, on a le choix entre dépenser 100 aujourd’hui et le placer pour avoir 100 + quelque chose demain. Du coup avoir 100 aujourd’hui correspond à avoir 100 + quelque chose demain et donc avoir 100 demain correspond à avoir 100 – autre chose aujourd’hui.

      • 

        Les économiste on fait un travail d’orfèvre en lavage de cerveaux.
        Du coup il est difficile de comprendre aujourd’hui que l’intérêt, l’usure et un vole, à la planète elle même.
        Une piste pour se défaire de cette illusion qui est la votre, et de réfléchir à d’autres moyen de créer de la monnaie sans pour autant créer de dette.

  2. 

    Bonjour,
    tout d’abord, bravo pour votre blog.

    Je vais me permettre de sabrer votre article sur deux points:
    -Un, il n’ya pas en France de génération qui n’ai pas payé puisque les fonds de retraite par capitalisation ont été prélévés par le régime de Vichy pour payer les frais de l’occupation allemande et jamais remboursé. Les retraites des ouvriers de 1940 sont parties pour payer la guerre à l’est.

    -Ensuite sur l’épargne et le Ponzi. Il est possible que toutes les génération gagnent dans une retraite par répartition, à la condition expresse que la croissance du PIB par habitant soit supérieure au taux de rendement de l’épargne. Le fait que cela se produise toutes les semaines des quatre jeudi, n’invalide en rien le raisonnement: Une génération touche sa retraite en fonction de la capacité d’imposition de la génération actuellement active. Si le PIb par habitant croit plus vite que l’épargne, le système peut fonctionner. Il n’y a pas de lien entre l’argent payé au système et l’argent reçu.

    Cordialement
    Rémi

    • 

      Bonjour,

      - Votre premier point ne change rien au fait que dans le système, il y a une première génération qui reçoit P>0, sans ne rien donner au système dont nous parlons. Et c’est tout ce que j’utilise. Votre objection ne serait valide que s’ils avaient cotisé pour le système, l’argent disparu dont vous parlez ne finance pas la retraite, il ne change donc rien.

      - Vous décrivez un système de ponzi, un système qui fonde son financement sur l’absorption de choses extérieures, la croissance du PIB ici. Plus exactement, vous avez besoin que le taux de croissance des revenus du travail (l) soit supérieur au rendement de la répartition. Sans quoi, les cotisations auraient un taux de croissance plus rapide que leur base, ce qui donne #error quand le taux de prélèvement tape les 100% (dans la réalité bien avant).

      Donc vous avez r<l. Et comme vous avez i<r, cela vous donne i<l. Dans l, vous trouvez la croissance démographique et celles des salaires. Vous faîtes donc reposer votre système sur une croissance infinie de sa base, c'est donc bien un Ponzi !

      En fait, votre objection est la même que si je disais que le jeu de Madoff pouvait perdurer éternellement si le marché financier croissait toujours plus rapidement que le rendement qu'offrait Madoff. C'est vrai, mais cela repose sur une divergence (au sens mathématique).

      Et puis votre croissance rapide du travail va détruire le stock de capital par unité de travail, faisant exploser la rentabilité du capital et s'effondrer les salaires. Vous aurez du mal à maintenir i<l bien longtemps.

      • 

        Oui, mais la remarque de Rémi est pertinente dans le sens où c’est tout notre système économique qui est une chaîne de Ponzi, et donc la retraite par capitalisation s’appuyant sur le même système, est exactement autant une chaîne de Ponzi que la répartition.

        Sauf si la retraite par capitalisation ne s’engage qu’à redistribuer que ce qui a été thésaurisé et rien de plus. Dans ce cas, la retraite par redistribution peut prendre le même engagement et ne plus être une chaîne de Ponzi non plus.

        En fait le seul vrai engagement de la retraite par redistribution est de redistribuer l’argent qu’il y aura. Si la chaîne de Ponzi de la croissance du PIB n’est pas encore brisée, ce sera plus qu’au départ. Sinon ce sera juste ce qu’il y aura au moment où l’on dépense, et pas plus et peut-être moins.

        Ceci dit dans les faits, la capitalisation n’est pas en mesure de prendre un meilleur engagement. Ce qu’elle pourra distribuer dépendra de la vigueur de l’économie au moment de la distribution. Si celle-ci va très mal, les capitaux dans lesquels elle aura été investi auront chuté ("on ne peut pas battre le marché"), et elle sera incapable de tenir sa promesse de redistribuer plus.

        Par contre l’un dans l’autre, les sommes cumulées payés à un gestionnaire de fortune sont au final supérieure à celles payé aux fonctionnaires chargés d’une distribution.
        Et de ce fait uniquement l’efficacité de la répartition devient supérieure à la capitalisation par rapport au montant disponible. Le deuxième avantage de la répartition est de n’être pas soumis au biais du survivant. Le biais du survivant est la principale raison pour laquelle sur le long terme la capitalisation se comporte extrêmement moins bien que les calculs habituels le prédisent. Ils ne prennent pas en compte que sur long terme la probabilité d’un investissement désastreux qui liquide la valeur du fond augmente et est assez proche de 1 au bout de 40/50 ans.

        • 

          Il n’y a aucun engagement dans le système par capitalisation. Vous obtenez ce que votre épargne a créé, c’est en cela que c’est équilibré par nature.

          Mais comme je disais je ne sais plus où, quand toutes les obligations d’entreprises sont en défaut, la répartition est en défaut aussi.

          • 

            Donc en fait vous vous opposez aux système de répartitions à prestation définie. Les systèmes à cotisation définie n’ont pas ce problème.

            La prestation définie peut effectivement mener à de fortes tensions lorsqu’on s’efforce de continuer à faire réellement correspondre les prestations versées à la valeur définies, en tenant compte de l’inflation, alors que l’économie va mal. Mais généralement, la prestation finit rapidement par se ramener à la valeur qu’elle aurait en cotisation définies, le contraire étant intenable.

            La cotisation définie (en pourcentage de salaire, avec peut-être une assiette plus large que les salaires) me semble une meilleure solution au problème que la capitalisation, pour les motifs que j’ai détaillés.

  3. 

    "Le système par répartition prétend donner un meilleur rendement que l’épargne (sans quoi il n’a aucun intérêt, vu qu’il suffirait d’épargner les cotisations). "

    Je ne suis pas convaincu qu’il le pretende : l’interet de la mise en place d’un tel systeme etait de pouvoir payer des retraites en 1945 a des vieux qui avaient tout perdu a cause de la guerre. L’erreur de nos politiques et de ne pas avoir progressivement fait evoluer le systeme (ou si peu : j’ai decouvert recement que j’avais droit a une retraite complementaire qui est aujourd’hui evaluee a 470 euros par an, cela ressemble a un blague!)

    • 

      @dede
      " j’ai decouvert recement que j’avais droit a une retraite complementaire qui est aujourd’hui evaluee a 470 euros par an, cela ressemble a un blague! "

      Donc c’est trop tard pour vous ? Vous l’avez definitivement perdue ?

    • 

      Juste un dernier commentaire, il me semble plutôt que les vieux avaient tout perdu progressivement en conséquence de la crise économique des années 30, beaucoup plus que de la guerre (qui a juste liquidé les derniers reste).

      Si Pétain désignait la répartition comme "la promesse des autres", c’est que les socialiste l’avait faite nettement avant la guerre, la situation de la capitalisation étant déjà très proche de l’écroulement complet.

  4. 

    est ce que infini +1 est égal à infini ?

  5. 

    Je pense aussi que le modèle n’a pas beaucoup de sens. Il suppose que le monde est stable. Hors à long terme (20-30 ans, une génération), rien n’est "stable". En particulier, on ne peut faire totale confiance ni au "politique" ni au "financier", même animés que de bonnes intentions.
    Ce qui est vrai aujourd’hui ne le sera plus dans quelques années. Quand il voit une caisse bien pleine, le politique comme le financier vous donnera toujours de très bonnes raisons pour "mieux" utiliser cette ressource. Et, malchance, les choses n’iront pas tout à fait comme prévu. L’erreur est humaine, n’est ce pas.
    Je ne peux m’empêcher de penser à Napoléon Bonaparte qui savait y faire en matière de "confiture de bonnes paroles" ! Madoff et Ponzi aussi. Faites vous (encore) totale confiance au produit que viendrait vous proposer Goldman Sachs, ce petit CDS super intéressant ?

    • 

      Bonjour,

      Il n’y a pas ces hypothèses dans le modèle. Le Ct et les Pt, sont indicés, ce qui signifie que toutes les variations possibles à leur sujet sont comprise dans la démonstration.

  6. 

    @Acrithene
    Votre démonstration est indépendante de la valeur de l’intérêt i. C’est ainsi qu’elle est encore aussi valide lorsque l’intérêt i est nul. Votre démonstation signifie, que le système de répartition est moins avantageux même dans le cas où l’argent placé ne rapporterait rien.

    Un rapport nul de l’argent placé est le cas le plus favorable pour comparer le régime par répartition. Cette nouvelle démonstration plus simple serait suffisante. On peut donc choisir donc d’omettre une variable qui est le taux d’intérêt i en le déclarant nul. De plus, les équations seront alors mille fois plus lisibles pour les lecteurs non matheux.

    P0 est le montant total des pensions reçues à l’année numéro zéro par les premiers pensionnés du système de répartition. L’État peut décider que P0 est nul et que les premiers pensionnés du système de répartition reçoivent une subvention exceptionnelle. Cette décision ne serait pas, amha, illogique. Nous sommes ainsi dans le cas ou P0 est nul. Or, si la valeur de P0 est nulle, votre démonstration est invalide.

  7. 

    Bonjour,

    Oui la démonstration ne dépend pas du taux d’intérêt, ni de ses variations (même si je n’ai pas considéré les variations pour éviter les intégrales).

    Non à votre dernier point. Pour deux raisons. D’abord, si P0 = 0, que deviennent les cotisations C0 ? Si elles sont mis en réserve, c’est une capitalisation que vous initiez, pas une répartition. Si elles sont nulles, alors vous n’avez rien initié.

    L’initiation d’une répartition nécessite une génération recevant sans avoir cotisé, et la fin nécessite une cotisation sans pension. C’est absolument nécessaire.

    Mais quand bien même on admet votre raisonnement, cela reste un Ponzi, vu que ce que vous décrieriez est un système en équilibre, à la condition d’une dépense initiale hors de cet équilibre. C’est donc un système en déséquilibre.

  8. 

    La démonstration semble convaincante mais j’ai néanmoins un problème avec celle-ci : votre raisonnement part du principe qu’un cotisant une fois en retraite récupère toujours le montant actualisé de l’ensemble des ses cotisations précédentes, mais cela me semble un cas particulier, voire même exceptionnel, y compris dans un système par capitalisation avec sortie en rente viagère, non ?

    En d’autres termes, si vous considérez que les gens meurent (et il me semble bien que c’est le cas), et qu’ils le font en moyenne avant d’avoir récupéré la somme de toutes leurs cotisations, tout votre raisonnement tombe de lui meme. Ainsi, un système par répartition se rapproche fortement d’un mécanisme de mutualisation du risque comme une simple assurance (et d’ailleurs on parle bien "d’assurance vieillesse"). Après réflexion, j ‘ai même l’impression (sans doute erronnée) que les 2 systèmes sont en fait équivalents. Je me trompe ?

    • 

      Bonjour,

      Dans le raisonnement, le rendement s’entend a priori. Le rendement inclut toujours le risque. Si vous échangez un capital contre une rente viagère, vous pouvez mourir le lendemain. On a alors l’impression que vous n’avez pas récupérer les fruits de votre effort. Ce que je vais dire va sembler absurde, mais en vérité ne l’est pas. Le raisonnement ex post facto néglige tout simplement que cet aléa a été pris en compte dans l’évaluation de votre rente, ex ante. En d’autres termes, cet aléa (ainsi que celui d’une vie très longue) est comprise dans la détermination du taux d’intérêt. Le risque que vous mourriez demain vous donne droit à une plus forte rente en cas de survie.

      Par exemple, si je vous propose un jeu. Je lance une pièce. Si c’est pile, vous gagnez un euro, sinon rien. Combien vaut le droit de jouer à ce jeu ? 0.50€, soit l’espérance du gain. Votre argument laisse entendre que si la pièce donne face, vous n’avez pas eu votre rendement. En vérité, vous l’avez eu, car le risque que la pièce donne face était comptabilisé dans le prix du jeu.

      Sans revenir sur l’aspect ponziesque, ce qu’il y a d’intéressant dans votre raisonnement, c’est que dans la capitalisation le pricing est meilleur que dans la répartition, autrement dit il offre un rendement plus juste à chacun.

      Reprenons un cas extrême : l’homme qui meurt la veille de son départ à la retraite. Son rendement dans la répartition est – infini. (Mais en moyenne cela ne contredit pas mon raisonnement, car il est récupéré par un autre retraité.).

      Dans le cas de la répartition, ce monsieur n’a pas exactement tout perdu. Car des gens mourraient à 60 ans avant lui, ce qui impactait positivement ces cotisations. D’une certaine manière, c’est pricé.

      Mais la différence, c’est que la mutualisation de la répartition considère tout le monde pareil. Ceux qui ont une faible espérance de vie n’auront pas une rente supérieure à ceux qui ont une longue espérance de vie. Dans un système de marché, les actuaires mutualisent les risques en prenant en compte la contribution de chacun au risque. Et donc étudient votre cas personnel, vous accordant davantage si vous risquez de mourir rapidement.

      On pourrait réécrire la démonstration sur la base de double intégrale, afin de différentier les générations, et à l’intérieur des générations chaque individu, et on trouverait la même chose.

      • 

        Merci de votre réponse, mais j’ai néanmoins l’impression que vous noyez le poisson et ne répondez pas vraiment à mes interrogations. Et notamment sur le fait que l’équilibre du système par répartition me semble reposer sur le déséquilibre permanent entre actifs et retraités. Cela dit, l’ajustement en cas de problème me semble plus aisé dans le cas de la capitalisation, mais ca reste encore une fois une intuition. A vrai dire j’ai un peu de mal a imaginer quelle solution prendre pour équilibrer un système de rente viagère faisant face à une estimation erronée du risque…

        Par ailleurs je me rend compte que l’economiste Paul Samuelson avait déjà établi l’equivalence que je mentionne dans mon message précédent. Mais est-ce vraiment établi ou est-ce juste un modèle comme un autre ?

        • 

          Si ce que vous dîtes est que le système est fondé sur le déséquilibre permanent entre actifs et retraités, alors vous êtes d’accord avec moi. Car une telle relation définit un ponzi (un système qui n’est financièrement viable que par la croissance de ses adhérents). Peut-être votre problème vient simplement que vous n’avez pas une définition précise de ce qu’est un Ponzi.

          Paul Samuelson a effectivement développé les modèles à générations imbriquées, qui servent à analyser un système comme la répartition. Paul Samuelson a aussi, comme moi, qualifié le système par répartition de Ponzi.

          Mathématiquement, un ponzi est un système qui repose sur l’évolution divergente de la base des contributeurs. Oui, le ponzi résiste tant que la population croit. Cela ne change pas le fait qu’il s’agisse d’un ponzi, ni qu’il doive mourir si la population humaine ne croit pas vers l’infini.

          Mon commentaire précédent tentait de vous expliquer que vous ne pouvez justifier que la répartition offre un rendement supérieur à l’épargne grâce au fait que des gens meurent plus tôt que d’autres, car cet aléa a le même effet sur le rendement de l’épargne. La chance que vous mourriez à 61 ans permet de dégager un profit pour mieux vous rémunérer dans le cas où vous survivez. A l’échelle de millions de personne, cette incertitude est mutualisée dans les deux systèmes !

          • 

            Voici le texte de Samuelson

            Social Security is a Ponzi Scheme that Works

            The beauty of social insurance is that it is actuarially unsound. Everyone who reaches retirement age is given benefit privileges that far exceed anything he has paid in — exceed his payments by more than ten times (or five times counting employer payments)!

            How is it possible? It stems from the fact that the national product is growing at a compound interest rate and can be expected to do so for as far ahead as the eye cannot see. Always there are more youths than old folks in a growing population. More important, with real income going up at 3% per year, the taxable base on which benefits rest is always much greater than the taxes paid historically by the generation now retired.

            …A growing nation is the greatest Ponzi game ever contrived.

            ___

          • 

            hmmm, non ce n’est pas ce que je dis. Ce déséquilibre ne nécessite aucunement une croissance des adhérents; il suffit juste que le temps de paiement des retraites soit borné dans le temps, de sorte que les sommes versées aux retraités soient inférieures à celles prélevées sur les actifs. Votre principe de croissance de la population n’est pas nécessaire dans cette hypothèse.

            C’est que ce qui se passe si on ajuste l’age de départ à la retraite à celui de l’âge moyen de décès dans un population donnée. Dans ce cas de figure on évite bien le Ponzi non ?

            • 

              Oui dans ce cas, vous évitez le Ponzi. En ajustant l’âge de départ à la retraite vous ajustez aussi le rendement du système par répartition à la baisse. Le rendement est le rapport entre les sommes perçues et les sommes versées. Donc en reportant l’âge, vous augmentez les cotisations totales versées et réduisez les pensions totales perçues ? Vous êtes d’accord ?

              Ce faisant – je ne refais pas les maths, elles sont dans le billet – vous refaites passer r en dessous de i, c’est-à-dire que la génération dont nous parlons va avoir un rendement inférieur à celui de l’épargne. C’est ce que dit l’article. Et du point de vue de cette génération, c’est une destruction de richesse.

              On en revient à l’article : la répartition ne peut faire mieux que l’épargne sans être un Ponzi.

          • 

            En outre, je ne crois pas que les afficionados de la répartition aient jamais prétendu que ce système offrait un meilleur rendement que la capitalisation. Leur argumentaire porte plus sur des notions de morale, de choix de société et de questions sur la prise de risque qu ‘un système par capitablisation fait courir aux participants.

            • 

              Le taux d’intérêt d’un investissement est pour un risque donné. Vous prendriez le taux sur la dette publique, vous n’auriez pas vraiment un risque supérieur – il s’agit du même débiteur – et le raisonnement tiendrait toujours.

              Je doute qu’exposé clairement le gens approuvent moralement la répartition par rapport à la capitalisation (une fois qu’on a retiré le vocable propagandiste). Un système consiste à épargner pour ne pas être à la charge de ses enfants, l’autre l’inverse.

              Il est totalement faux de considérer que la retraite par répartition est sans risque. Concrètement comment pouvez-vous dire qu’un cotisant de trente ans sait quelle sera sa pension et dans combien d’années il la touchera. Vous avez l’air d’exclure ses variables de la notion de risque.

              • 

                Je n’exclus rien ni ne considère que la repartition est sans risque, je vous dis juste que le plan sur lequel vous placez le débat n’est pas le bon, et que vous combattez des positions qui, à ma connaissance, n’ont pas été prises par les partisans du système par répartition.

                Je suis d’autant plus à l’aise sur ce sujet que, parce qu’expatrié depuis un bon moment, ma retraite sera une retraite par capitalisation et que je suis très heureux de cette situation, pleinement choisie et assumée.
                Cela étant, merci de cet interessant échange.

              • 

                Ah non, les retraités sont mécaniquement à la charge des actifs dans tous les systèmes. Le contraire n’est qu’une illusion comptable.

                Et cette illusion comptable poussée trop loin est très instable politiquement. Un système où tous le capital serait entre les mains des retraités, les actifs n’existant économiquement que par les services qu’ils leur rendent partirait vers une révolution très vite. A moins que les actifs n’ait conscience de leur pouvoir de production économique réel, et fixe le prix des services à un niveau qui permet que ce soit quand même eux qui profitent de l’essentiel de la production.

                Détaillons cela :
                Dans tous les cas, la richesse à distribuer est toujours le produit de la population active par sa productivité, si celle ci et sa productivité diminue, ou juste arrête d’augmenter, la richesse produite sera moindre, et les artifices comptables capitalisation/redistribution ne changeront rien à cela. La question sera juste dans tous les cas sur quelle part reste aux actifs et laquelle part aux retraités. Et si la retraite par capitalisation a pour résultat que l’essentiel de la richesse produite par les actifs part aux retraités, c’est là qu’en réalité sont vraiment à la charge des enfants, au détriment du niveau de vie de ceux-ci. Beaucoup plus qu’en répartition (je ne dis pas qu’on ne peut pas concevoir un système par répartition où la part des retraités devient là aussi abusive).

                • 

                  Votre détail néglige la création des actifs. Prenons un cas paysan comme je les aime.

                  Dans la répartition, le paysan travaille entièrement à la culture de son champs et donne une partie des grains à ces parents. Ses enfants devront faire pareil à la période suivante.

                  Dans la capitalisation, il consacre une partie de son travail à construire un système d’irrigation. Ce système ne sera loué/vendu à ses enfants que dans la mesure où ceux-ci en tirent tout de même un bénéfice, c’est-à-dire au prix de la valeur effectivement apportée EN PLUS par le capital. La capitalisation ne prend donc rien aux enfants que ceux-ci auraient eus sans elle !

                  L’épargne n’est pas un phénomène seulement comptable. Hausse de l’épargne = hausse de l’investissement.

                • 

                  Je dois admettre que je rejoins jmdesp sur ce point: quel que soit le système, les retraités restent à la charge des actifs.

                  Dans un système par répartition, c’est la nature même du mécanisme. Dans la captialisation le phénomène est masqué mais cependant bien réel; le versement d’une pension ne peut se faire qu’en vendant une partie des actifs du fond de pension ou en afffectant tout ou partie partie de la richesse créé (les dividendes par exemple) à ce versement. Une ulitme solution consiste à contracter une dette.

                  Dans le premier cas, cette opération n’est possible que parcequ’il existe des acheteurs, donc des actifs en phase d’épargne, qui sont là en contrepartie. Dans la seconde possibilité, la création de richesse des actifs est donc directement captée par les retraités.

                  De facon plus générale, le rendement de la capitalisation n’est possible que dans la mesure où il se trouve des actifs pour l’assurer. Dans tous les cas, on a donc bien des retraités qui restent à la charge de leurs enfants. En ce sens, et si vous considérez qu’une retraite par répartition est une chaine de Ponzi, alors la capitalisation me semble l ‘être tout autant.

                • 

                  Oui et non. Bien sûr que s’il n’y a pas de travailleurs le capital ne vaut rien.

                  Mais ce n’est pas équivalent pour autant.

                  En supposant qu’il y a des travailleurs, ils seront plus productifs si du capital a été constitué à la période précédente (capitalisation) que si cela n’a pas été le cas (répartition). C’est en cela que la répartition est un jeu à somme nulle, et pas la capitalisation. Il y a un moulin en plus dans la capitalisation.

    • 

      @314ns
      Vous dites "Après réflexion, j ‘ai même l’impression (sans doute erronée) que les 2 systèmes sont en fait équivalents". J’ai eu la même intuition. Ce qui signifierait que r=i. C’est à dire que le rendement de la répartition serait égal au rendement de la capitalisation. Du moins dans la modélisation proposée par Acrithene.

      Par construction du modèle, les cotisations sont ici les mêmes dans les deux systèmes de retraite. La cotisation actualisée est la cotisation versée augmentée des revenus que son placement a permis pendant la durée de détention par la caisse de retraite.

      Dans la répartition, la cotisation est aussitôt versée à un retraité. Puisque la durée d’actualisation est nulle, la cotisation actualisée est égale à la cotisation versée.

      Dans la capitalisation, la cotisation actualisée est versée au retraité. Or le modèle postule l’équivalence entre une somme versée immédiatement et la même somme actualisée versée ultérieurement. Le rendement est donc le même dans les deux systèmes de retraite. Le taux d’intérêt i est ici égal au rendement r.

      Ainsi cette égalité i=r découle logiquement des hypothèses du modèle. Il n’est donc pas légitime de supposer que i serait différent de r.

      • 

        Oui gidmoz, un système solvable implique 1+i=1+r, en moyenne (géométrique) sur l’ensemble de la chaîne.

        Ce qui implique r<i si on ne considère que la partie de la chaîne composée de cotisants.

        En effet, la première génération n’ayant pas cotisé, elle a r>i, donc pour maintenir la moyenne, il nous faut bien que les autres générations aient i>r, c’est-à-dire qu’elles soient lésées.

        • 

          @Acrithene
          Le modèle utilisé compare les rendements des deux caisses de retraite lorsque les cotisations perçues sont identiques. La caisse par répartition d’une part, la caisse par capitalisation d’autre part. Il s’agit de comparer la valeur des pensions versées aux retraités.

          Le modèle ne s’applique qu’à une caisse de retraite. Il ne s’applique pas à un sous-ensemble de cotisants ou à un sous-ensemble de retraités. Du moins, je ne vois pas comment le formalisme mathématique du modèle s’adapterait à un sous-ensemble limité aux cotisants.

          • 

            Le modèle indice les périodes, il distingue donc les générations par sous ensemble. En introduisant une fonction produit au dénominateur, on pourrait distinguer des taux d’intérêt et un rendement variable, propre à chaque génération.

            Par introduction d’une double somme, on pourrait distinguer des sous groupes au sein de chaque génération, et même le faire à l’échelle individuelle. En passant le tout en intégrales, on permettrait les chevauchements, en rendant le système continu et non par tranche.

            Tout cela n’est pas fait car cela complique les maths (pas tant que ça) sans changer le résultat.

            • 

              @Acrithene
              Votre article m’a fait découvrir est que la création de la richesse nationale est identique pour une caisse de répartition et pour une caisse de capitalisation.

              Le formalisme de la première partie de votre article est utile. Je l’exprime autrement de la manière suivante: Supposons que i=5%, c’est à dire que l’argent rapporte du 5% par an. La caisse de répartition verse 100 euro aujourdhui à un retraité. Ce retraité place son argent et obtiendra 105 dans un an. Ou bien si la caisse de capitalisation vers 105 euros à un autre retraité dans un an. En termes de richesse nationale, la création de valeur sera la même.

              L’ intérêt que je vois à votre démonstration serait de faire correspondre le système de répartition au critère mathématique d’un système de Ponzi. Du moins dans le cas où on prétendrait que la répartition créerait plus de valeur que la capitalisation.

              Ainsi le taux théorique de création nationale de valeur est le même pour une caisse de répartition et pour une caisse de capitalisation. Si la caisse de répartition choisit un taux supérieur, elle comment une erreur de raisonnement. Et cette erreur de raisonnement la conduit à fabriquer une "chaîne de Ponzi".

              • 

                Non, il y a davantage de richesses dans un système par capitalisation, par le simple fait que la capitalisation consiste à créer du capital, qui est un facteur de production.

                • 

                  @Acrithene
                  L’hypothèse de votre modèle est intéressante et utile. Restons y.

                  La création de valeur est la même si la caisse verse 100 euro aujourdhui au retraité, ou bien si elle lui verse 100+les intérêts dans un an. Le retraité peut placer ces 100 euros pour augmenter son capital. Selon le modèle, la valeur créée est la même si le retraité consomme immédiatement ces 100 euros, ou bien s’il attend un an pour consommer 105.

                  Dans le cas de la répartition, le retraité investit ou consomme les 100 euros. S’il place en banque ces 100 euros, il possédera 105 un an plus tard. Dans le cas de la capitalisation, le retraité obtient 105 un an plus tard. Il y a bien équivalence de la création de valeur pour le retraité dans les deux cas.

  9. 

    @Acrithene
    Je reviens sur la pension versée la première année, c’est à dire P0. C’est la question du P0=0 dont je parlais précédemment. Imaginons la première année d’un système par répartition où une catégorie d’actifs cotisent sans recevoir de pension. Dans un tel cas, la pension P0 est nulle. Or P0=0 invalide votre démonstration dans ce cas particulier. La validité de votre démonstration ne tient alors qu’au montant plus ou moins faible de P0. Comment prétendre qu’un tel système de répartition ne fonctionnerait pas lorsqu’il lui suffit d’emprunter cette somme égale à P0, immuable dans la durée.

    Revenons au cas particulier du taux d’intérêt i=0. Ce cas particulier devrait être votre cas général de votre démonstration puisque ce paramètre n’y joue aucun rôle. Le fait que ce taux d’intérêt i ne joue aucun rôle dans la démonstration devrait nous alerter sur une possible contradiction logique.

    Poursuivons avec un taux d’intérêt i positif. J’ai l’intuition que r=i. On aurait pu comprendre cette égalité autrement, et avant toute sommation mathématique. En effet, Par construction, toute cotisation est consommée soit immédiatement soit plus tard. Par construction, la valeur de la satisfaction de celui qui la consomme immédiatement est équivalente à la valeur d’une satisfaction supérieure lorsque la consommation survient plus tard.

    Enfin, un système de Ponzi ne respecte pas sa promesse. Un système de retraite par répartition respecte toujours sa promesse. En effet, il s’agit de partager immédiatement, entre les retraités, le montant des cotisations payées par les actifs. Il n’y a aucune promesse de montant ni de rentabilité. C’est une raison suffisante pour affirmer, amha, que la retraite par répartition n’est pas un système de Ponzi.

    • 

      La promesse de la retraite par répartition est bel et bien de dire que les actifs d’aujourd’hui cotisent pour leur retraite de demain. Si tel n’était pas le cas, la retraite par répartition aurait été abandonnée depuis longtemps et pour être franc je suis intimement persuadé que seule une toute petite partie de la population est consciente de ce qu’est vraiment la retraite par répartition. L’immense majorité des gens est persuadé que l’état mets de côté les pensions trop perçues aujourd’hui pour les redistribuer demain (d’où les grèves à répétition)

      Il commence à devenir urgent que les hommes politiques expliquent que l’état ce sont les citoyens, que tout ce que l’état dépense vient de près ou de loin de ces mêmes citoyens et que les riches ne sont pas assez nombreux et riches pour payer pour tout le monde!!!

    • 

      @Gidmoz

      Je devrais vous refaire la même explication. Votre raisonnement sur une cotisation non dépensée lance une capitalisation, non une répartition. Dans votre première année, votre cotisation n’est pas "répartie" vous êtes d’accord ? Elle est donc épargnée. Vous avez donc une capitalisation.

      Ensuite, au moment où vous initialiseriez réellement votre système, vous le feriez reposer sur ce stock capitalisé, et non sur le placement des gens ayant cotisé pour effectivement recevoir une pension. Vous auriez donc bien un Ponzi, quelque chose qui repose sur une dette tendant vers l’infini. En effet, vous avez une dette vis-à-vis de ces gens que vous avez spoliés dans votre première période, et en se composant elle tend vers l’infini. Vous avez un système divergent.

      Je suis désolé, faîtes une recherche sur internet ou dans une bibliothèque car manifestement je n’arrive pas à vous l’expliquer, mais pour initialiser une répartition vous avez absolument besoin d’une génération recevant du système sans avoir cotisé à ce système.

  10. 

    l’avantage de la capitalisation est de pouvoir beneficier du principe de l’interêt composé

  11. 

    La retraite par répartition est un Ponzi : ben oui cette bonne blague, c’est un système d’assurance ! Ce n’est pas un placement ! L’assuré ( notez bien le terme ) qui meurt avant sa retraite perd sa mise, tout comme l’ automobiliste qui n’a pas d’accident perd sa cotisation.

  12. 

    Il me semble que vous avez deux ordres d’argumentation qu’il faudrait distinguer.
    - D’une part le fait que le côté Ponzi privilégie les premiers arrivant au détriment des derniers. Pas besoin de mathématique pour ça, le raisonnement fonctionne sans tenir compte des taux d’intérêt et peut se limiter à l’avant dernière formule où vous ajoutez P0 pour aboutir à une inégalité stricte. Pour autant, ce n’est pas l’argument le plus fort car le système peut très bien fonctionner comme cela ad vitam eternam si il est équilibré. La tontine fonctionne sur ce principe. D’ailleurs, le système fait faillite le jour où la chaîne est rompue du fait de la défiance vis à vis d’un système frauduleux à la base, c’est-à-dire où on fait prendre aux nouveaux arrivants des vessies (répartition) pour des lanternes (capitalisation). Si le système est explicite dès le départ et que la confiance est maintenue, il peut très bien fonctionner. Le système n’a pas besoin d’être en expansion, il suffit qu’il soit stable. Pour le cas particulier des retraites, la question est celle de l’instabilité, c’est-à-dire du déséquilibre croissant retraités/cotisants, mais c’est un autre problème.
    - D’autre part l’argument selon lequel r < i, c'est à dire selon lequel l'investissement d'aujourd'hui pour créer des richesses demain crée globalement plus de richesse que la redistribution de richesse existante demain sans cet investissement. Ceci me semble plus fort et intéressant.

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